Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（-c，0）（c＞0），作倾斜角为

π

6

的直线FE交该双曲线右支于点P，若

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，且

OE

•

EF

=0，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件结合双曲线的性质，推导出OE=

1

3 -1

a，EF=

3

3 -1

a，OE⊥EF，OF=c，由此利用勾股定理能求出a，c间的等量关系，从而能求出双曲线的离心率．

解答： 解：如图，设双曲线的右焦点为Q，FQ的中点为O，连结OE，PQ，
∵

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，且

OE

•

EF

=0，
∴OE

∥

.

1

2

PQ，OE⊥EF，
又∵PF-PQ=2a，∴EF-OE=a，
∵直线FE的倾斜角为

π

6

，
∴

OE

EF

=

1

3

，
∴EF=

3

OE，
∴

3

OE-OE=（

3

-1）OE=a，
∴OE=

1

3 -1

a，EF=

3

3 -1

a，
∵OE⊥EF，OF=c，
∴（

1

3 -1

a）²+（

3

3 -1

a）²=c²，
解得c=

2 2- 3

a=（

3

+1）a，
∴e=

c

a

=

3

+1．
故答案为：

3

+1．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．