Question

13．在等比数列{a_n}中，S_n为其前n项和，已知a₅=2S₄+3，a₆=2S₅+3，则此数列的公比q=3，a₄，a₆的等比中项为243，数列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$的最大值是$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 对于第一空：根据已知条件得出2S₅-2S₄=a₆-3-（a₅-3）=a₆-a₅=2a₅，得出3a₅=a₆，然后根据两项的关系得出3a₅=a₅q，答案可得q的值；
对于第二空：由a₅=2S₄+3求得a₁的值，易得该数列的通项公式，求出a₄，a₆的值，由等比中项的性质计算可得答案；
对于第三空：设b_n=$\frac{6n+1}{{a}_{n}}$，计算可得数列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$的通项公式为b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$，分析可得b_n+1-b_n=$\frac{6n+7}{{3}^{n+1}}$-$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$，结合n的范围可得b_n+1-b_n=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$＜0，即数列b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$为递减数列，可得n=1时，数列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$有最大值，将n=1代入计算可得答案．

解答 解：∵a₅=2S₄+3，a₆=2S₅+3，即2S₄=a₅-3，2S₅=a₆-3
∴2S₅-2S₄=a₆-3-（a₅-3）=a₆-a₅=2a₅
即3a₅=a₆
∴3a₅=a₅q
解得q=3，
则由a₅=2S₄+3得到：3⁴a₁=2×$\frac{{a}_{1}（1-{3}^{4}）}{1-3}$+3，
解得a₁=3，
则a₄=a₁×q³=3⁴，a₆=a₁×q⁵=3⁶，
则a₄，a₆的等比中项为±$\sqrt{{3}^{4}×{3}^{6}}$=±243，
设b_n=$\frac{6n+1}{{a}_{n}}$，
又由a₁=3，q=3，
则a_n=a₁×q^n-1=3ⁿ，
则有$\frac{6n+1}{{a}_{n}}$=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$，
即数列$\{\frac{6n+1}{a_n}\}$的通项公式为b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$，
b_n+1-b_n=$\frac{6n+7}{{3}^{n+1}}$-$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$，
当n≥1时，有b_n+1-b_n=$\frac{4-12n}{{3}^{n+1}}$＜0，
即数列b_n=$\frac{6n+1}{{3}^{n}}$为递减数列，
则其最大值为b₁=$\frac{6×1+1}{{3}^{1}}$=$\frac{7}{3}$；
故答案为：3，±243，$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是利用S₅-S₄=a₅得出a₅、a₆的关系，属中档题．