Question

已知a为常数，函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），则（　　）

• A、f（x₁ ）＜0，f（x₂）＜-

  1

  2

• B、f（x₁ ）＜0，f（x₂）＞-

  1

  2

• C、f（x₁ ）＞0，f（x₂）＜-

  1

  2

• D、f（x₁ ）＞0，f（x₂）＞-

  1

  2

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：当a=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，解得x=

1

e

，f（

1

e

）=-

1

e

；当a≠0时，f（x）=xlnx-ax²，f′（x）=lnx-2ax+1=0，a=

lnx+1

2x

，设a（x）=

1nx+1

2x

，令a′（x）=-

2lnx

4x2

，x=1，由此利用导数性质能求出函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）时，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-

1

2

．

解答： 解：∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂，（x₁＜x₂）
当a=0时，f（x）=xlnx，f′（x）=lnx+1=0，
解得x=

1

e

，∴f（

1

e

）=-

1

e

；
当a≠0时，f（x）=xlnx-ax²，f′（x）=lnx-2ax+1=0，
a=

lnx+1

2x

，
设a（x）=

1nx+1

2x

，
令a′（x）=-

2lnx

4x2

，x=1，
当0＜x＜1时，a′（x）＞0，当x＞1时，a′（x）＜0，
∴a（x）在x=1处取极大值

1

2

，
又∵x→+∞时，a（x）→0
∴当0＜a＜

1

2

时，f′（x）=lnx-2ax+1=0必存在二个解
即函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值x₁，x₂，（x₁＜x₂），
当0＜x＜x₁或x＞x₂时，f′（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＞0，
函数f（x）在x₁处取极小值，在x₂处取极大值，
又∵当a=

1

2

时，f′（x）=lnx-x+1=0，∴x=1，f（1）=-

1

2

，
当a=0时，f（x）在x=

1

e

处取极小值f（

1

e

）=-

1

e

．
∴函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）时，f（x₁）＜0，f（x₂）＞-

1

2

．
故选：B．

点评：本题主要考查极值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力．