Question

13．已知椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1），上顶点为A，左顶点为B，设P是椭圆上的任一点，则△PAB的最大值为$\sqrt{2}$+1，若已知M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0），点Q为椭圆上的任意一点，则$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 由椭圆的知识可知A，B的坐标，可得直线的方程，设PP（acosθ，sinθ），代入点到直线的距离公式，由三角函数的知识可得取最值得条件，再代入面积公式可得a，结合椭圆的定义，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由椭圆的知识可知A（0，1），B（a，0），
故直线AB的方程为$\frac{x}{a}+y=1$，即x+ay-a=0，
设P（acosθ，sinθ），可得P到直线AB的距离d=$\frac{|\sqrt{2}asin（θ+\frac{π}{4}）-a|}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
∴当θ=135°时，d取最大值为$\frac{（\sqrt{2}+1）a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$，
此时△PAB的面积S取最大值为：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{1+{a}^{2}}$×$\frac{（\sqrt{2}+1）a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}$=$\sqrt{2}$+1，
∴a=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
∴M（-$\sqrt{3}$，0），N（$\sqrt{3}$，0）为焦点，
∴|QN|+|QM|=2a=4，
∴$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$=$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$）（|QN|+|QM|）=$\frac{1}{4}$×（5+$\frac{4|QN|}{|QM|}$+$\frac{|QM|}{|QN|}$）≥$\frac{1}{4}$×（5+4）=$\frac{9}{4}$，
当且仅当|QM|=2|QN|时，取等号，
∴$\frac{1}{|QN|}+\frac{4}{|QM|}$的最小值为$\frac{9}{4}$．
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，确定椭圆的方程是关键．