Question

17．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且2S_n=a_n+1+2n．
（1）求a₂；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）令b_n=（2n-1）（a_n-1），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由n=1时，2S₁=2a₁=a₂+2，a₂=4；
（2）当n≥2时，2a_n=2s_n-2s_n-1=a_n+1-a_n+2，整理可得a_n+1=3a_n-2，a_n+1-1=3（a_n-1），因此{a_n-1}从第二项起是公比为3的等比数列，由$\frac{{{a_2}-1}}{{{a_1}-1}}=\frac{3}{2}≠3$，${a_n}-1=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3^{n-1}}+1，n≥2}\end{array}}\right.$；
（3）由（2）可知：${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$，${T_n}=2+3×3+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（2n-1）×{3^{n-1}}$，利用“错位相减法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n=1时，2S₁=2a₁=a₂+2，
∴a₂=4…1；
（2）当n≥2时，2a_n=2s_n-2s_n-1=a_n+1+2n-a_n-2（n-1）=a_n+1-a_n+2，
∴a_n+1=3a_n-2，
∴a_n+1-1=3（a_n-1）…4，
∴$\frac{{{a_{n+1}}-1}}{{{a_n}-1}}=3（n≥2）$，
∴{a_n-1}从第二项起是公比为3的等比数列…5，
∵$\frac{{{a_2}-1}}{{{a_1}-1}}=\frac{3}{2}≠3$，
∴${a_n}-1=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$，
∴${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3^{n-1}}+1，n≥2}\end{array}}\right.$；
（3）∴${b_n}=\left\{{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（2n-1）•{3^{n-1}}，n≥2}\end{array}}\right.$…8
∴${T_n}=2+3×3+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（2n-1）×{3^{n-1}}$①…9
∴$3{T_n}=6+3×{3^2}+5×{3^3}+7×{3^4}+…+（2n-1）×{3^n}$②
①-②得：$-2{T_n}=5+2（{3^2}+{3^3}+{3^4}+…+{3^{n-1}}）-（2n-1）×{3^n}$，
=$5+2×\frac{{{3^2}（1-{3^{n-2}}）}}{1-3}-（2n-1）×{3^n}$，
=（2-2n）×3ⁿ-4，…11
∴${T_n}=（n-1）×{3^n}+2$…12

点评 本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．