Question

3．已知抛物线C：y=2x²和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．
（1）求证：l与C必有两交点；
（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）联立抛物线C：y=2x²和直线l：y=kx+1，可得2x²-kx-1=0，利用△＞0，即可证明l与C必有两交点；
（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．

解答 （1）证明：联立抛物线C：y=2x²和直线l：y=kx+1，可得2x²-kx-1=0，
∴△=k²+8＞0，∴l与C必有两交点；
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=1①
因为y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，代入①，得2k+（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=1②
因为x₁+x₂=$\frac{1}{2}$k，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$，代入②得k=1．

点评 本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．