Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax-a+1），其中a是常数．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在定义域内是单调递增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=e^x+k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）求得的导数，若f（x）是单调递增函数，则f'（x）≥0恒成立，运用判别式不大于0，即可得到；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-e^x=e^x（x²+ax-a），则关于x的方程g（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根．求g（x）的导数，讨论a≥-2时，a＜-2时的单调区间和极值、最值，从而加以判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax-a+1）可得f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]．
当a=1时，f（1）=2e，f'（1）=5e
所以 曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-2e=5e（x-1）
即5ex-y-3e=0；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]，
若f（x）是单调递增函数，则f'（x）≥0恒成立，
即x²+（a+2）x+1≥0恒成立，∴△=（a+2）²-4≤0，-4≤a≤0，
所以a的取值范围为[-4，0]．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-e^x=e^x（x²+ax-a），
则关于x的方程g（x）=k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根．
令g′（x）=e^x（x²+（2+a）x）=0，
解得x=-（a+2）或x=0．
当-（a+2）≤0，即a≥-2时，在区间[0，+∞）上，g′（x）≥0，
所以g（x）是[0，+∞）上的增函数．
所以 方程g（x）=k在[0，+∞）上不可能有两个不相等的实数根．
当-（a+2）＞0，即a＜-2时，g'（x），g（x）随x的变化情况如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
g'（x）	0	-	0	+
g（x）	-a	↘	a+4 ea+2	↗

由上表可知函数g（x）在[0，+∞）上的最小值为g(-(a+2))=

a+4

ea+2

．
因为 函数g（x）是（0，-（a+2））上的减函数，是（-（a+2），+∞）上的增函数，
且当x→+∞时，g（x）→+∞
所以要使方程g（x）=k即f（x）=e^x+k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根，
k的取值范围必须是(

a+4

ea+2

，-a]．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，求极值和最值，同时考查方程的根的问题转化为函数的最值问题，属于中档题．