Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}ln（{1-x}），x＜0\\{（{x-1}）^3}+1，x≥0\end{array}$，若f（x）≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $[{0，\frac{2}{3}}]$
• B． $[{0，\frac{3}{4}}]$
• C． [0，1]
• D． $[{0，\frac{3}{2}}]$

Answer 1

分析 讨论当a＞0、a=0和a＜0时，直线y=ax与y=f（x）的图象交点问题，结合图象可得a的范围．

解答 解：根据题意，画出函数y=f（x）和y=ax的图象，如图所示；
当a＞0时，直线y=ax与y=（x-1）³+1（x≥0）相切，
设切点为（m，am），
由y=（x-1）³+1的导数为y′=3（x-1）²，
可得a=3（m-1）²，am=（m-1）³+1，
解方程可得m=$\frac{3}{2}$，a=$\frac{3}{4}$．
由图象可得0＜a≤$\frac{3}{4}$；
当a=0时，不等式f（x）≥ax=0恒成立，
当a＜0时，在x＜0时，不等式不成立．
综上可得a的取值范围是[0，$\frac{3}{4}$]．
故选：B．

点评 本题考查了不等式成立问题的解法，注意运用数形结合的思想方法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查运算能力，属于难题．