Question

4．已知椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且短轴长为4．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P（2，1）作一弦，使弦被这点平分，求此弦所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．

解答 解：（1）由已知得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}}\\{2b=4}\\{{a^2}={b^2}+{c^2}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=16}\\{{b^2}=4}\end{array}}\right.$，
∴椭圆的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由题意知，直线的斜率必存在，
设斜率为k，则所求直线的方程为y-1=k（x-2），
代入椭圆方程并整理得（4k²+1）x²-8（2k²-k）x+4（2k-1）²-16=0，
设直线与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x_1}+{x_2}=\frac{{8（{2{k^2}-k}）}}{{4{k^2}+1}}$，
∵P是AB的中点，∴$\frac{{8（{2{k^2}-k}）}}{{4{k^2}+1}}=4$，解得$k=-\frac{1}{2}$．
∴所求直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．

点评 本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，巧用根与系数的关系是解题关键，属于中档题．