Question

已知a，b∈R⁺，那么“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的（　　）

• A、充要条件
• B、必要不充分条件
• C、充分不必要条件
• D、既不充分也不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：由a²+b²＜1得a²+2ab+b²＜1+2ab＜1+2ab+（ab）²，所以（a+b）²＜（1+ab）²，因为a，b∈R⁺，所以得到：a+b＜ab+1，即ab+1＞a+b．然而ab+1＞a+b不一定得出a²+b²＜1，如a=b=2时，满足ab+1＞a+b，但不满足a²+b²＜1，这样即可找出正确选项．

解答： 解：（1）若a²+b²＜1则：
a²+2ab+b²＜1+2ab+a²•b²；
∴（a+b）²＜（1+ab）²；
∵a，b∈R⁺
∴ab+1＞a+b；
∴ab+1＞a+b是a²+b²＜1的必要条件；
（2）若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a²+b²＜1不成立；
∴ab+1＞a+b不是a²+b²＜1的充分条件；
综上可知：“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分条件．
故选：B．

点评：考查充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念，注意在说明由ab+1＞a+b时，举反例的方法．