Question

14．已知函数f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若f（x）≥m+$\frac{4}{m}$-k对任意的m∈[3，5]恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；
（Ⅱ）问题转化为$f{（x）_{min}}≥m+\frac{4}{m}-k$对?m∈[3，5]恒成立，即$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$对?m∈[3，5]恒成立，令$g（m）=m+\frac{4}{m}$，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f'（x）=1+1nx，
令f'（x）＞0，得$x＞\frac{1}{e}$；令f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{1}{e}$，
故当$x∈（0，\frac{1}{e}）$时，f（x）单调递减；
当$x∈（\frac{1}{e}，+∞）$时，f（x）单调递增．
故当$x=\frac{1}{e}$时，f（x）取得极小值，
且$f{（x）_{极小值}}=f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}1n\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$，无极大值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，$f{（x）_{min}}=-\frac{1}{e}$，
要使$f（x）≥m+\frac{4}{m}-k$对?m∈[3，5]恒成立，
只需$f{（x）_{min}}≥m+\frac{4}{m}-k$对?m∈[3，5]恒成立，
即$-\frac{1}{e}≥m+\frac{4}{m}-k$，即$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$对?m∈[3，5]恒成立，
令$g（m）=m+\frac{4}{m}$，则$g'（m）=1-\frac{4}{m^2}=\frac{{{m^2}-4}}{m^2}$，
故m∈[3，5]时g'（m）＞0，所以g（m）在[3，5]上单调递增，
故$g{（m）_{max}}=g（5）=5+\frac{4}{5}=\frac{29}{5}$，
要使$m+\frac{4}{m}≤k-\frac{1}{e}$对?m∈[3，5]恒成立，
只需$k-\frac{1}{e}≥g{（m）_{max}}$，
所以$k≥\frac{29}{5}+\frac{1}{e}$，
即实数k的取值范围是$[\frac{29}{5}+\frac{1}{e}，+∞）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道综合题．