Question

19．已知${x_0}=\frac{π}{3}$是函数f（x）=msinωx-cosωx（m＞0）的一条对称轴，且f（x）的最小正周期为π
（Ⅰ）求m值和f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设角A，B，C为△ABC的三个内角，对应边分别为a，b，c，若f（B）=2，$b=\sqrt{3}$，求$a-\frac{c}{2}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据f（x）的最小正周期为π，求出ω，${x_0}=\frac{π}{3}$是其中一条对称轴，求出m的值，可得f（x）的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．
（Ⅱ）根据f（B）=2，求出角B的大小，利用正弦定理，$a-\frac{c}{2}$转化为三角函数问题解决即可．

解答 解：函数f（x）=msinωx-cosωx（m＞0）
化简可得：f（x）=$\sqrt{{m}^{2}+1}$sin（ωx+θ），其中tanθ=-$\frac{1}{m}$．
∵f（x）的最小正周期为π，即T=π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
又∵${x_0}=\frac{π}{3}$是其中一条对称轴，
∴2×$\frac{π}{3}$+θ=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z．
可得：θ=$kπ-\frac{π}{6}$，
则tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{m}$．
m＞0，
当k=0时，tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{m}$
∴m=$\sqrt{3}$．
可是f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
令$2kπ-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
所以f（x）的单调递增区间为[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由f（B）=2sin（2B-$\frac{π}{6}$）=2，
可得2B-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$得：$a-\frac{c}{2}$=2sinA-sin（A+$\frac{π}{3}$）=$\frac{3}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA=$\sqrt{3}$sin（A-$\frac{π}{6}$）
∵0$＜A＜\frac{2π}{3}$
∴A-$\frac{π}{6}$∈（$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）
∴$a-\frac{c}{2}$的取值范围是（$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$），

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，求出f（x）的解析式是解决本题的关键．属于中档题．