Question

【题目】已知函数f(x)＝aln x－bx2 ， a，b∈R.
（1）若f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切，求a，b的值；
（2）在(1)的条件下，求f(x)在 上的最大值；
（3）若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝ －2bx.由函数f(x)在x＝1处与直线y＝－ 相切，
得 即
解得
（2）解：由(1)得f(x)＝ln x－ x2 ， 定义域为(0，＋∞)．
此时，f′(x)＝ －x＝ ，令f′(x)＞0，解得0＜x＜1，令f′(x)＜0，解得x＞1.
所以f′(x)在 上单调递增，在(1，e)上单调递减，
所以f(x)在 上的最大值为f(1)＝－ .
（3）解：若不等式f(x)≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－bx2≥x对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－x≥bx2对所有的b∈(－∞，0]，x∈(e，e2]都成立，
即aln x－x≥0对x∈(e，e2]恒成立，
即a≥ 对x∈(e，e2]恒成立，
即a大于等于 在区间(e，e2]上的最大值．
令h(x)＝ ，则h′(x)＝ ，当x∈(e，e2)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，
所以h(x)＝ ，x∈(e，e2]的最大值为h(e2)＝ ，即a≥ .
所以a的取值范围为 .
【解析】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题注意运用参数分离和转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．