Question

已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，A＞0，|φ|＜

π

2

）的图象如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（

θ

2

-

π

6

）=

12

5

，θ∈（0，

π

2

），求cos（θ-

π

3

）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由图象经过特殊点求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由f（

θ

2

-

π

6

）的值求得 sinθ 的值，根据可得cosθ 的值，从而求得cos（θ-

π

3

）=cosθcos

π

3

+sinθsin

π

3

的值．

解答： 解：（1）由图可知，A=3，

1

2

T=

π

ω

=

7π

12

-

π

12

，∴ω=2，f（x）=3sin（2x+φ）．
而函数f（x）图象经过点（

π

12

，3），∴3sin（2×

π

12

x+φ）=3，∴

π

6

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z，
即 φ=2kπ+

π

3

，k∈z．
结合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

3

，f（x）=3sin（2x+

π

3

）．
（2）∵f（

θ

2

-

π

6

）=3sinθ=

12

5

，∴sinθ=

4

5

．
根据θ∈（0，

π

2

），可得cosθ=

3

5

，∴cos（θ-

π

3

）=cosθcos

π

3

+sinθsin

π

3

=

3

5

×

1

2

+

4

5

×

3

2

=

3+4 3

10

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．