Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面是ABCD是梯形，AD∥BC，AD＞BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AB，点E是PB的中点
（1）证明：PC⊥AE；
（2）若AB=1，AD=

3

，且点A到腰CD的距离为1，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得平面PAB⊥底面ABCD于AB，BC⊥AB，BC⊥平面PAB，由此能证明AE⊥PC．
（2）作AF⊥CD于F，CG⊥AD于G，依题意AF=1，AD=

3

，DF=

2

，DG=

2

，BC=AG=AD-DG=

3

-

2

，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （1）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴平面PAB⊥底面ABCD于AB，
AD∥BC，∠BAD=90°，∴BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，
∴平面PBC⊥平面PAB于PB，
PA=AB，E是PB的中点，∴AE⊥PB，
∴AE⊥平面PBC，∴AE⊥PC．
（2）角：作AF⊥CD于F，CG⊥AD于G，
依题意AF=1，AD=

3

，
∴DF=

2

，cot∠ADC=

DF

AF

=

2

，CG=AB=1，
∴DG=CGcot∠ADC=

2

，
BC=AG=AD-DG=

3

-

2

，
∴底面ABCD的面积S=

1

2

（AD+BC）AB=

1

2

（2

3

-

2

），PA=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

S•PA=

2 3 - 2

6

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．