Question

以下四个命题中，正确的是（　　）

• A、向量

  a

  =（1，-1，3）与向量

  b

  =（3，-3，6）平行
• B、△ABC为直角三角形的充要条件是

  AB

  •

  AC

  =0
• C、|（

  a

  •

  b

  ）

  c

  c|=|

  a

  |•|

  b

  |•|

  c

  |
• D、若{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }为空间的一个基底，则{

  a

  +

  b

  ，

  b

  +

  c

  ，

  c

  +

  a

  }构成空间的另一个基底

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间向量及应用,简易逻辑

分析：A．利用向量共线定理即可判断出；
B．△ABC为直角三角形，若A≠

π

2

，则推不出

AB

•

AC

=0；
C.|(

a

•

b

)

c

|=|

a

| |

b

||

c

|cos＜

a

，

b

＞≠|

a

| |

b

||

c

|；
D．利用向量共面定理即可判断出．

解答： 解：A．设

a

=（1，-1，3）与向量

b

=（3，-3，6）平行，则存在实数λ使得

a

=λ

b

，则

1=3λ -1=-3λ 3=6λ

，此方程组无解，因此

a

与

b

不共线，故不正确．
B．△ABC为直角三角形，若A≠

π

2

，则推不出

AB

•

AC

=0，因此不正确；
C.|(

a

•

b

)

c

|=|

a

| |

b

||

c

|cos＜

a

，

b

＞≠|

a

| |

b

||

c

|，因此不正确；
D．假设存在不全为0的实数λ，μ使得

a

+

b

=λ(

b

+

c

)+μ(

a

+

c

)，化为(1-μ)

a

+(1-λ)

b

+(-λ-μ)

c

=

0

，
∵{

a

，

b

，

c

}为空间的一个基底，∴

1-μ=0 1-λ=0 -λ-μ=0

，此方程组无解，因此

a

+

b

，

b

+

c

，

c

+

a

是不共面向量，可构成空间的另一个基底．
综上可知：只有D正确．
故选：D．

点评：本题考查了向量共线定理、向量垂直于数量积的关系、数量积运算、向量共面定理等基础知识，考查了推理能力，属于中档题．