Question

如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．
（1）求证：平面FBC⊥平面ACFE；
（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件利用勾股定理求出BC⊥AC．由平面ACFE⊥平面ABCD，得到BC⊥平面ACFE．由此能证明平面ACFE⊥平面FBC．
（2）建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，令FM=λ（0≤λ≤

3

），利用向量法能求出cosθ的取值范围．

解答： （1）证明：在四边形ABCD中，
∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos60°=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴BC⊥AC．
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，
BC?平面ABCD，∴BC⊥平面ACFE．
又∵BC?平面FBC，∴平面ACFE⊥平面FBC．…（5分）
（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF
为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，
令FM=λ（0≤λ≤

3

），
则C（0，0，0），A（

3

，0，0），B（0，1，0），M（λ，0，1），
∴

AB

=（-

3

，1，0），

BM

=（λ，-1，1），
设

n

=（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，
由

n • AB =0 n • BM =0

，得

- 3 x+y=0 λx-y+z=0

取x=1，则

n

=（1，

3

，

3

-λ），
∵

m

=（1，0，0）是平面FCB的一个法向量，
∴cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

1

1+3+( 3 -λ)2×1

=

1

( 3 -λ)2+4

，…（10分）
∵0≤λ≤

3

，∴当λ=0时，cosθ有最小值

7

7

，
当λ=

3

时，cosθ有最大值

1

2

．
∴cosθ∈[

7

7

，

1

2

]．…（12分）

点评：本题考查平面与平垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．