Question

已知圆O：x²+y²=2，过点A（1，1）的直线交圆O所得的弦长为

2 5

5

，且与x轴的交点为双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点F（c，0）（c＞2），双曲线E的离心率为

3

2

．
（1）求双曲线E的方程；
（2）若直线y=kx+m（k＜0，k≠-

5

5

，m＞0）交y轴于点P，交x轴于点Q，交双曲线右支于点M，N两点，当满足关系

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

|PQ|

时，求实数m的值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出直线方程，运用点到直线的距离公式，以及弦长公式计算即可得到斜率k，再由c＞2，可得c=3，由离心率公式可得a=2，再由a，b，c的关系可得双曲线方程；
（2）求出P，Q的坐标，以及|PQ|，设出直线的参数方程，运用参数t的几何意义，代入双曲线方程，由韦达定理，结合条件，即可得到m的方程，解得即可．

解答： 解：（1）设过点A（1，1）的直线为y-1=k（x-1），
即为kx-y+1-k=0，
圆心O到直线的距离为d=

|1-k|

1+k2

，
由弦长公式可得2

r2-d2

=2

2-d2

=

2 5

5

，
解得d=

3 5

5

，
由

|1-k|

1+k2

=

3 5

5

，解得k=-2或-

1

2

．
则有直线为y-1=-2（x-1），令y=0，则x=1.5＜2舍去，
或直线y-1=-

1

2

（x-1），令y=0，则x=3＞2成立，
即有c=3，
由离心率为

3

2

，即有a=2，b=

c2-a2

=

5

．
则双曲线E的方程为

x2

4

-

y2

5

=1；
（2）设直线y=kx+m（k＜0，k≠-

5

5

，m＞0）的参数方程为

x=tcosα y=m+tsinα

（t为参数），
则令y=0，则有t=-

m

sinα

，（m＞0，sinα＞0）．
即有|PQ|=

m

sinα

，
将参数方程代入双曲线的方程可得5t²cos²α-4（m+tsinα）²-20=0，
整理可得（5cos²α-4sin²α）-8mtsinα-4m²-20=0，
则有t₁+t₂=

8msinα

5cos2α-4sin2α

，t₁t₂=

-4m2-20

5cos2α-4sin2α

，
由

1

|PM|

+

1

|PN|

=

1

|PQ|

，以及M，N在P的下方，则可设|PM|=-t₁，|PN|=-t₂，
即有

1

-t1

+

1

-t2

=

sinα

m

，
即有

-(t1+t2)

t1t2

=

8msinα

4m2+20

=

sinα

m

，
即有4m²+20=8m²，
由m＞0，解得m=

5

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，考查直线的参数方程的运用，考查韦达定理，考查运算能力，属于中档题．