Question

已知曲线C上任意一点P到两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）的距离之和为4．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M（-4，0）作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．
（ⅰ）证明：k•k_ON为定值；
（ⅱ）是否存在实数k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知曲线是焦点为F₁（-1，0）与F₂（1，0）、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）设过点M的直线l的方程为y=k（x+4），设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），联立方程组

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0，由此能证明k•k_ON=-

3

4

为定值．
（ⅱ）若F₁N⊥AC，则k_AC•k_FN=-1，由此推导出只能k=0，显然不成立，故这样的直线不存在．

解答： （Ⅰ）解：∵曲线C上任意一点P到两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）的距离之和为4，
∴曲线是焦点为F₁（-1，0）与F₂（1，0）、长轴长为4的椭圆，
∴曲线C的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）证明：设过点M的直线l的方程为y=k（x+4），
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂） （x₂＞y₂）．
联立方程组

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0，
则

x1+x2= -32k2 4k2+3 x1x2= 64k2-12 4k2+3

，…（5分）
故xN=

x1+x2

2

=

-16k2

4k2+3

，yN=k(xN+4)=

12k

4k2+3

，…（7分）
∴kON=-

3

4k

，
∴k•k_ON=-

3

4

为定值．…（8分）
（ⅱ）解：若F₁N⊥AC，则k_AC•k_FN=-1，
∵F₁ （-1，0），kF1N=

12k 4k2+3

-16k2 4k2+3 +1

=

4k

1-4k2

，
∴

y2

x2+2

•

4k

1-4k2

=-1，…（10分）
代入y₂=k（x₂+4）得x₂=-2-8k²，y₂=2k-8k³，
∵x₂≥-2，∴只能k=0，显然不成立，
∴这样的直线不存在．…（13分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查两直线的斜率积为定值的证明，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意椭圆定义的灵活运用．