Question

17．抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ） 线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；
（Ⅲ）求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）联立切线和抛物线方程，由判别式等于0求解p的值；
（Ⅱ）由|AF|+|BF|=8，利用抛物线的定义转化为x₁+x₂+2=8，从而求出A，B两点横坐标的和，设出C的坐标，利用C在AB的垂直平分线上得|AC|=|BC|，代入两点间的距离公式后移向整理，代入两横坐标的和后可求m的值；
（Ⅲ）设出AB中点的坐标，写出直线l的方程，把AB中点坐标代入l的方程后得到AB中点坐标与直线l的斜率k的关系，由AB中点在抛物线内部列式求得k的取值范围．

解答 解：（I）因为抛物线y²=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，
所以由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=x+1\end{array}\right.$得：y²-2py+2p=0（p＞0）有两个相等实根．…（2分）
即△=4p²-8p=4p（p-2）=0得：p=2为所求．…（4分）
（II）抛物线y²=4x的准线x=1．且|AF|+|BF|=8，
所以由定义得x₁+x₂+2=8，则x₁+x₂=6．…（5分）
设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C（m，0）．
由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|=|BC|…（6分）
即${（{x_1}-m）^2}+{y_1}^2={（{x_2}-m）^2}+{y_2}^2$．
所以${（{x_1}-m）^2}-{（{x_2}-m）^2}={y_2}^2-{y_1}^2$．
即（x₁+x₂-2m）（x₁-x₂）=4x₂-4x₁=-4（x₁-x₂）…（8分）
因为x₁≠x₂，所以x₁+x₂-2m=-4．
又因为x₁+x₂=6，所以m=5，
所以点C的坐标为（5，0）．
即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点（5，0）．…（10分）
（III）设直线l的斜率为k₁，由（II）可设直线l方程为y=k₁（x-5）．
设AB的中点M（x₀，y₀），由${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=3$．可得M（3，y₀）．
因为直线l过点M（3，y₀），
所以y₀=-2k₁．…（11分）
又因为点M（3，y₀）在抛物线y²=4x的内部，
所以${y_0}^2＜12$．…（12分）
即$4{k_1}^2＜12$，则${k_1}^2＜3$．
因为x₁≠x₂，则k₁≠0．…（13分）
所以k₁的取值范围为$（-\sqrt{3}，0）∪（0，\sqrt{3}）$．…（14分）

点评 本题主要考查抛物线的定义和直线与曲线的相切问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，属难题．