Question

12．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在它的某一个周期内的单调减区间是[$\frac{5π}{12}$，$\frac{11π}{12}$]．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的$\frac{1}{2}$（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为g（x），若对于任意的x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，不等式m＜g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）根据周期公式计算ω，根据f（$\frac{5π}{12}$）=1计算φ，从而得出f（x）的解析式；
（II）利用函数图象变换得出g（x）解析式，求出g（x）的最小值即可得出m的范围．

解答 解：（ I）由已知得，$\frac{T}{2}$=$\frac{11π}{12}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{2}$，即T=π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2，
又f（$\frac{5π}{12}$）=sin（$\frac{5π}{6}$+φ）=1，
∴$\frac{5π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，解得φ=-$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z．
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴f（x）的解析式为f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
（ II）将y=f（x）图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，得y=sin（2x-$\frac{2π}{3}$）的图象，
∴g（x）=sin（4x-$\frac{2π}{3}$），
∵x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]，∴4x-$\frac{2π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴当4x-$\frac{2π}{3}$=-$\frac{π}{6}$时，函数g（x）在[$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{3}$]上的最小值为-$\frac{1}{2}$．
∴m$＜-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了正弦函数的性质，函数图象的变换，属于中档题．