Question

9．已知函数f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（$\frac{5π}{8}$，0）对称，且在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，则ω的值为$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦函数的奇偶性求得φ的值，再利用余弦函数的单调性，求得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，
∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{2}$）=cos2ωx．
∵其图象关于点M（$\frac{5π}{8}$，0）对称，∴2ω$•\frac{5π}{8}$=kπ+$\frac{π}{2}$，∴ω=$\frac{4}{5}$k+$\frac{2}{5}$，k∈Z．
根据f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上是单调函数，∴2ω•$\frac{π}{2}$≤π，∴ω≤1，∴ω=$\frac{2}{5}$，
故答案为：$\frac{2}{5}$．

点评 本题主要考查正弦函数的奇偶性、余弦函数的单调性，属于基础题．