Question

20．已知函数f（x）=lnx+bx-c，f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若在区间$[{\frac{1}{2}，3}]$内，恒有f（x）≥2lnx+kx成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由求导公式、法则求出f′（x），根据题意和导数的几何意义求出b的值，将（1，f（1））代入方程x+y+4=0求出f（1），代入解析式列出方程求出c，即可求出函数f（x）的解析式；
（2）由（1）求出函数的定义域和f′（x），求出f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求出函数f（x）的单调区间；
（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤-2-$\frac{lnx+3}{x}$在区间$[{\frac{1}{2}，3}]$内恒成立，求出右边的最小值，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，f′（x）=$\frac{1}{x}$+b，则f′（1）=1+b，
∵在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+4=0，
∴切线斜率为-1，则1+b=-1，得b=2-，
将（1，f（1））代入方程x+y+4=0，
得：1+f（1）+4=0，解得f（1）=-5，
∴f（1）=b-c=-5，将b=2代入得c=3，
故f（x）=lnx-2x-3；
（2）依题意知函数的定义域是（0，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-2，
令f′（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0得，x＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）的单调增区间为（0，$\frac{1}{2}$），单调减区间为（$\frac{1}{2}$，+∞）．
（3）由f（x）≥2lnx+kx，k≤-2-$\frac{lnx+3}{x}$在区间$[{\frac{1}{2}，3}]$内恒成立，
设g（x）=-2-$\frac{lnx+3}{x}$，则g′（x）=$\frac{lnx+2}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在区间$[{\frac{1}{2}，3}]$上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（$\frac{1}{2}$）=2ln2-8，
∴k≤2ln2-8．

点评 本题考查求导公式和法则，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性问题，考查恒成立问题，是一道中档题．