Question

1．若不等式$|{2x-1}|+|{x+2}|≤a+\frac{1}{a}$有解，则实数a的取值范围为（　　）

• A． [{$\frac{1}{2}$，2]
• B． [$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，]
• C． （0，$\frac{1}{2}$]∪[2，+∞）
• D． $（{0，\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}}]∪[{\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞}）$

Answer 1

分析 求出f（x）的最小值，根据不等式的性质求出a的范围即可．

解答 解：令f（x）=|2x-1|+|x+2|，
问题转化为f（x）_min≤a+$\frac{1}{a}$，
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3x+1，x≥\frac{1}{2}}\\{-x+3，-2＜x＜\frac{1}{2}}\\{-3x-1，x≤-2}\end{array}\right.$，
故f（x）_min=$\frac{5}{2}$，
即a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{5}{2}$，即（2a-1）（a-2）≥0，
解得：a≥2或0＜a≤$\frac{1}{2}$，
故选：C．

点评 本题考查了绝对值问题，考查函数的最值以及不等式的性质，是一道基础题．