Question

定义在R上的函数f（x）=

1 |x-2| ， (x≠2) 1， (x=2)

，若关于x的方程f²（x）-mf（x）+m-1=0（其中m＞2）有n个不同的实数根x₁，x₂，…x_n，则f（

n

i=1

x_i）的值为（　　）

• A、

  1

  4

• B、

  1

  8

• C、

  1

  12

• D、

  1

  16

Answer 1

考点：分段函数的应用,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：解f²（x）-mf（x）+m-1=0得：f（x）=m-1，或f（x）=1，结合函数f（x）=

1 |x-2| ， (x≠2) 1， (x=2)

，的图象求出

n

i=1

x_i的值，代入可得答案．

解答： 解：解f²（x）-mf（x）+m-1=0得：f（x）=m-1，或f（x）=1，
分段函数f（x）=

1 |x-2| ， (x≠2) 1， (x=2)

，的图象如图所示
由图可知，

当f（x）=1时，它有三个根1或2或3．
当f（x）=m-1时，它有两个根x₁，x₂，且这两个根关于x=2对称．
∴x₁+x₂=4，
故方程f²（x）-mf（x）+m-1=0（其中m＞2）有5个不同的实数根，

n

i=1

x_i=10，
故f（

n

i=1

x_i）=

1

8

，
故选：B

点评：本题主要考查函数的零点与方程根的关系、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．