Question

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有公共焦点F₂（1，0），且3a²=4b²．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线l经过椭圆的左焦点F₁，与抛物线交于不同两点P，Q，且满足

F1P

=λ

F1Q

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,椭圆的应用

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有焦点F₂（1，0），可得抛物线方程；根据椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）有焦点F₂（1，0），且3a²=4b²，可得椭圆方程；
（2）设P（

s2

4

，s），Q（

t2

4

，t），利用

F1P

=λ

F1Q

，确定坐标之间的关系，即可求实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）∵抛物线C₂：y²=4mx（m＞0）有焦点F₂（1，0），
∴抛物线的方程为y²=4x；
又c²=a²-b²=1，3a²=4b²，
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）设P（

s2

4

，s），Q（

t2

4

，t），
∵F₁（-1，0），

F1P

=λ

F1Q

，
∴（

s2

4

+1，s）=λ（

t2

4

+1，t），
∴

s2

4

+1=λ（

t2

4

+1）①，s=λt…②，
由①②可得

t2

4

λ(λ-1)=λ-1
∴λ＞0且λ≠1．

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，确定椭圆、抛物线的方程是关键．