Question

设[x]表示不超过x的最大整数，如：[1]=1，[1.3]=1，[-1.5]=-2，给出下列命题：
①若函数f（x）=[x]-x，则有f（x+1）=f（x）；
②若函数f（x）=[x]-x，则f（x）的值域为（-1，0]；
③当x∈[0，π]时，方程[2sinx]=|

2

|的解集为[

π

6

，

5π

6

]；
④当x∈[0，n）（n∈N⁺）时，设函数g（x）=[x]的值域为A_n，记A_n中的元素个数为a_n，则数列{a_n}的前n项和S_n=

n(n+1)

2

．
其中正确的命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：符号[x]表示不超过实数x的最大整数，由周期函数的定义证明此函数为周期函数，从而判定①；
求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，可以判定②；
由[2sinx]是整数知方程无解，可以判定③；
由题意知数列{a_n}是等差数列，且通项公式为a_n=n，可以求出前n项和S_n，从而判定④．

解答： 解：①∵f（x）=[x]-x，∴f（x+1）=[x+1]-（x+1）=[x]+1-x-1=[x]-x=f（x），∴①正确；
②由①知f（x）是以1为周期的函数，且当0≤x＜1时，f（x）=[x]-x=0-x=-x，
∴函数{x}的值域为（-1，0]，∴②正确；
③当x∈[0，π]时，0≤2sinx≤2，∴[2sinx]=0，或1，或2；
∴方程[2sinx]=|

2

|无解，∴③错误；
④当x∈[0，n）（n∈N⁺）时，函数g（x）=[x]的值域为A_n，记A_n中的元素个数为a_n，
∴a_n=n，则等差数列{a_n}的前n项和S_n=

n(n+1)

2

，∴④正确；
故答案为：①②④．

点评：本题考查了新定义的函数解析式以及性质的应用问题，解题时要认真审题，注意新定义的灵活运用．