Question

6．在数列{a_n}中，a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（n∈N^x），记b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（I）试求b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（Ⅱ）根据（I）中的计算结果，猜想数列{b_n}的通项公式并用数学归纳法进行证明．

Answer 1

分析 （1）由于a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（n∈N^x），b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），可得b₁，b₂，b₃，b₄的值；
（2）由（1）的值归纳得：${b}_{n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．用数学归纳法证明即可．

解答 解：（1）∵a_n=$\frac{1}{（n+1）^{2}}$（n∈N^x），b_n=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），
∴b₁=1-a₁=1-$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，b₂=$\frac{3}{4}（1-{a}_{2}）$=$\frac{4}{6}$，${b}_{3}=\frac{2}{3}×（1-{a}_{3}）$=$\frac{5}{8}$，${b}_{4}=\frac{5}{8}（1-{a}_{4}）$=$\frac{6}{10}$．
（2）由（1）的值归纳得：${b}_{n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，b₁=$\frac{3}{4}$=$\frac{1+2}{2×（1+1）}$，等式成立．
②假设当n=k时等式成立，即${b}_{k}=\frac{k+2}{2（k+1）}$．
当n=k+1时，b_k+1=b_k（1-a_k+1）=$\frac{k+2}{2（k+1）}[1-\frac{1}{（k+2）^{2}}]$=$\frac{k+2}{2（k+1）}×\frac{（k+1）（k+3）}{（k+2）^{2}}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$=$\frac{（k+1）+2}{2[（k+1）+1]}$，
即当n+1时，等式也成立．
由①②知，对任何正整数n有得：${b}_{n}=\frac{n+2}{2（n+1）}$成立．

点评 本题考查了递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．