Question

设函数f_n（x）=-xⁿ+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

1

2

，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出f3(x)=-x3+3x+1以及导数，判断导函数的符号，即可求解函数f3(x)=-x3+3x+1的最大值，最小值．
（2）通过对任意x₁，x₂有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求出

1

6

≤a≤

1

2

，求出导数，通过f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]内为减函数，f₃（x）在[-

a

，

a

]内为增函数，推出|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，即可求出a的取值范围．
（3）利用|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

1

2

，推出-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

，-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

，求出-

1

2

≤b≤

1

2

，∴得到b，然后求出a．

解答： 解（1）f3(x)=-x3+3x+1∴

f

′ 3

(x)=-3x2+3…（2分）
∴在（0，1）内，

f

′ 3

(x)＞0，在（1，2）

f

′ 3

(x)＜0
∴在（0，1）内，f3(x)=-x3+3x+1为增函数，在（1，2）内f3(x)=-x3+3x+1为减函数，
又∵f（2）=-1＜f（0）=1，
∴函数f3(x)=-x3+3x+1的最大值为f₃（1）=3，最小值为f₃（2）=-1…（4分）
（2）∵对任意x₁，x₂有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，∴|f₃（1）-f₃（-1）|≤1
从而有|6a-2|≤1∴

1

6

≤a≤

1

2

…（6分）
又

f

′ 3

(x)=-3x2+3a∴f₃（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]内为减函数，f₃（x）在[-

a

，

a

]内为增函数，只需|f3(

a

)-f3(-

a

)|≤1，则4a

a

≤1
∴a的取值范围是

1

6

≤a≤

1

3 16

…（10分）
（3）由|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

1

2

，可得|f4(x)|≤

1

2

，
知：-

1

2

≤f4(1)≤

1

2

①，-

1

2

≤f4(-1)≤

1

2

②，
①加②得

1

2

≤b≤

3

2

，又∵-

1

2

≤f4(0)≤

1

2

∴-

1

2

≤b≤

1

2

，∴b=

1

2

…（14分）
将b=

1

2

代入①②，得0≤a≤0∴a=0…（16分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值，单调性的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力转化思想的应用．