Question

如图，双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点F₁（-c，0）、F₂（c，0），A为双曲线C右支上一点，且|AF₁|=2c，AF₁与y轴交于点B，若F₂B是∠AF₂F₁的角平分线，则双曲线C的离心率是（　　）

• A、

  3+ 3

  2

• B、1+

  3

• C、

  3+ 5

  3

• D、

  3+ 5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，可得|BF₁|=|BF₂|，∠BF₂F₁=36°，再由双曲线的定义可得|AF₂|=2c-2a，再由内角平分线定理可得

2a

2c-2a

=

2c-2a

2c

，化简整理，结合离心率公式解方程，即可得到．

解答： 解：由F₂B是∠AF₂F₁的角平分线，O为F₁F₂的中点，
则|BF₁|=|BF₂|，
∠BF₁F₂=∠BF₂F₁=∠BF₂A，设为α．
又|AF₁|=2c，则∠A=2α，
则∠A+∠AF₁F₂+∠AF₂F₁=5α=180°，
即有α=36°，
∠ABF₂=2α=72°=∠A，
即有|BF₂|=|AF₂|，
由双曲线的定义可得|AF₁|-|AF₂|=2a，
则|AF₂|=2c-2a，|AB|=2c-（2c-2a）=2a，
由F₂B是∠AF₂F₁的角平分线，可得

|AB|

|BF1|

=

|AF2|

|F1F2|

，
即有

2a

2c-2a

=

2c-2a

2c

，
即有ac=（c-a）²，
即c²-3ac+a²=0，
由e=

c

a

，可得e²-3e+1=0，
解得e=

3+ 5

2

或

3- 5

2

，
由于e＞1，则e=

3+ 5

2

．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用等腰三角形的性质和内角平分线定理是解题的关键．