Question

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．

（1）求关于的函数关系式；

（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的

值．

 

Answer 1

正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．

    设正三棱锥侧面的高为，高为 ．

由题意得，解得．

则，

．                        

所以，正三棱锥体积．

设，     

求导得，令，得，             

    当时，，函数在上单调递增，

    当时，，函数在上单调递减，

    所以，当时，取得极大值也是最大值．              

    此时，所以．

    答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为．