Question

设F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点，双曲线两渐近线分另．为l₁，l₂过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A，B两点．若OA，AB，OB成等差数列，且向量

BF

与

FA

同向，则双曲线的离心 率e的大小为（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  2

• C、2
• D、

  5

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由勾股定理、OA，AB，OB成等差数列，得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答： 解：由条件知，OA⊥AB，所以OA²+AB²=OB²，
因为OA，AB，OB成等差数列，所以2AB=OA+OB，
所以OA：AB：OB=3：4：5，
于是tan∠AOB=

4

3

．
因为向量

BF

与

FA

同向，所以过F作直线l₁的垂线与双曲线相交于同一支．
而双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程分别为

x

a

±

y

b

=0，故

2• b a

1-( b a )2

=

4

3

，
解得a=2b，
故双曲线的离心率e=

c

a

=

5

2

．

点评：本题考查了双曲线的简单性质以及等差数列的性质，确定tan∠AOB=

4

3

，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．