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    如图，过圆O外一点P作该圆的两条割线PAB和PCD，分别交圆O于点A、B，C、D，弦AD和BC交于点Q，割线PEF经过点Q交圆O于点E、F，点M在EF上，且∠BAD＝∠BMF.

    (1)求证：PA·PB＝PM·PQ；

    (2)求证：∠BMD＝∠BOD.


     (1)∵∠BAD＝∠BMF，

    ∴A、Q、M、B四点共圆，∴PA·PB＝PM·PQ.

    (2)∵PA·PB＝PC·PD，∴PC·PD＝PM·PQ，

    又∠CPQ＝∠MPD，∴△CPQ∽△MPD，

    ∴∠PCQ＝∠PMD，则∠BCD＝∠DMF，

    ∵∠BAD＝∠BCD，

    ∴∠BMD＝∠BMF＋∠DMF＝2∠BAD，

    又∠BOD＝2∠BAD，∴∠BMD＝∠BOD.


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