Question

（本小题13分）已知定义在的奇函数满足：①；②对任意均有；③对任意，均有．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）证明：在上为增函数；

（Ⅲ）是否存在实数k，使得对任意的恒成立？若存在，求出的k范围；若不存在说明理由．

Answer 1

（1）；（2）证明如下；（3）存在，当时，满足题意；

【解析】

试题分析：（1）利用条件，通过赋值运算可得到，对m，n再进行赋值，即可得到；（2）证明函数的单调性，通常有两种方法，一种是用定义法，一种是用导数法，本题中，是一个抽象函数，只能采用定义法，若，得出，则函数为增函数，若，得出，则函数为减函数；（3）主要是针对二次函数来讨论，通过二次函数的对称轴，以及最值来分情况，同学们在做此类问题时，要紧紧抓住图像，数形结合来解决问题往往是直观有效的；

试题解析：（Ⅰ）由，

令，，则，且有对任意均成立，

令即有，得；

（Ⅱ）由有，只需就好

设，其中，则，故，

则，所以，

即，，在单调递增

（Ⅲ）由，

令，有，，

令，由，故，由奇偶性 ，

则的解集是 ，

于是问题等价于是否存在实数k使，

或对任意的恒成立，

令，问题等价于

或对恒成立，

令，则对恒成立的必要条件是

即得，此时无解；

同理恒成立的必要条件是，即，

解得，得；

当时，的对称轴，

（1）当时，对称轴，在区间的右侧，

在单调递减，恒成立成立，

故时，恒成立；

（2）当时， ，在先减后增，

恒成立还需，即，

化简为，，即，解得．

故有解得；

综上所述存在，使对任意的恒成立．

考点：用定义法证明单调性二次函数分情况讨论

考点分析： 考点1：导数及其应用 试题属性

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