Question

12．下列说法正确的是（　　）

• A． 存在x₀∈R，使得$1-{cos^3}{x_0}={log_2}\frac{1}{10}$
• B． 函数y=sin2xcos2x的最小正周期为π
• C． 函数$y=cos2（{x+\frac{π}{3}}）$的一个对称中心为$（{-\frac{π}{3}，0}）$
• D． 角α的终边经过点（cos（-3），sin（-3）），则角α是第三象限角

Answer 1

分析 在A中，1-cos³x₀≥0，log₂$\frac{1}{10}$＜0；在B中，函数y=sin2xcos2x的最小正周期为$\frac{π}{2}$；在C中，函数$y=cos2（{x+\frac{π}{3}}）$的对称中心为（-$\frac{π}{12}+kπ$，0），k∈Z；在D中，由cos（-3）=cos3＜0，sin（-3）=-sin3＜0，得到角α的终边经过点（cos（-3），sin（-3）），则角α是第三象限角．

解答 解：在A中，∵cosx₀∈[-1，1]，
∴1-cos³x₀=（1-cosx₀）（1+cosx₀+cos²x₀）≥0，
∵log₂$\frac{1}{10}$＜log₂1=0，
∴不存在x₀∈R，使得$1-{cos^3}{x_0}={log_2}\frac{1}{10}$，故A错误；
在B中，函数y=sin2xcos2x=$\frac{1}{2}sin4x$的最小正周期为$\frac{π}{2}$，故B错误；
在C中，由2（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，得x=-$\frac{π}{12}+kπ$，k∈Z，
∴函数$y=cos2（{x+\frac{π}{3}}）$的对称中心为（-$\frac{π}{12}+kπ$，0），k∈Z，故C错误；
在D中，∵cos（-3）=cos3＜0，sin（-3）=-sin3＜0，
∴角α的终边经过点（cos（-3），sin（-3）），则角α是第三象限角，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，考查三角函数、对数函数、二倍角公式、立方差公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．