Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动直线l经过点M（-2，0）与椭圆C交于P、Q两点，O为坐标原点，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆方程可求；
（2）由题意可知l与x轴不重合，设l的方程为x=my-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P，Q的纵坐标的和与积，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{2b=2}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）∵l与x轴不重合，设l的方程为x=my-2，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（m²+2）y²-4my+2=0．
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{{m}^{2}+2}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{2}{{m}^{2}+2}$．
由△=16m²-8（m²+2）＞0，解得$m＜-\sqrt{2}$或m$＞\sqrt{2}$．
∵$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{{m}^{2}+2}$，
∴${S}_{△OPQ}=\frac{1}{2}|ON||{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{2\sqrt{2}\sqrt{{m}^{2}-2}}{{m}^{2}+2}$．
令t=$\sqrt{{m}^{2}-2}＞0$，则${S}_{△OPQ}=\frac{2\sqrt{2}t}{{t}^{2}+4}=\frac{2\sqrt{2}}{t+\frac{4}{t}}≤\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{t•\frac{4}{t}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2时取等号，此时m=$±\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．