Question

18．对点（x，y）的一次操作变换记为P₁（x，y），定义其变换法则为P₁（x，y）=（x+y，x-y），且规定P_n（x，y）=P₁（P_n-1（x+y，x-y））（n为大于1的整数），如P₁（1，2）=（3，-1），P₂（1，2）=P₁（P₁（1，2））=P₁（3，-1）=（2，4），P₃（1，2）=P₁（P₂（1，2））=P₁（2，4）=（6，-2），则P₂₀₁₇（1，-1）=（　　）

• A． （0，2¹⁰⁰⁸）
• B． （2¹⁰⁰⁸，-2¹⁰⁰⁸）
• C． （2¹⁰⁰⁹，-2¹⁰⁰⁹）
• D． （0，2¹⁰⁰⁹）

Answer 1

分析 根据已知条件找出变化规律，推出关系式，然后求解P₂₀₁₇（1，-1）的结果．

解答 解：由已知条件可得：P₁（1，-1）=（0，2），
P₂（1，-1）=P₁（P₁（1，-1））=P₁（0，2）=（2，-2），
P₃（1，2）=P₁（P₂（1，-1））=P₁（2，-2）=（0，4），
P₄（1，2）=P₁（P₃（1，-1））=P₁（0，4）=（4，-4），
P₅（1，2）=P₁（P₄（1，-1））=P₁（4，-4）=（0，8），
P₆（1，2）=P₁（P₅（1，-1））=P₁（0，8）=（8，-8），
P₇（1，2）=P₁（P₆（1，-1））=P₁（8，-8）=（0，16），
当n为偶数时，P_n=（${2}^{\frac{n}{2}}$，-${2}^{\frac{n}{2}}$），
当n为奇数时，P_n=（$0，{2}^{\frac{n+1}{2}}$），
P₂₀₁₇（1，-1）=（0，${2}^{\frac{2018}{2}}$）=（0，2¹⁰⁰⁹）　　
故选：D．

点评 本题考查数列的应用，数列的递推关系式的求法，考查分析问题解决问题的能力，注意新定义的应用．