Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜

1

2

，则不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集为（　　）

• A、（1，+∞）
• B、（-∞，-1）
• C、（-1，1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：由题意，设g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；求出g′（x），判定g（x）的单调性，由此求出不等式f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集．

解答： 解：根据题意，设g（x）=f（x）-（

1

2

x+

1

2

），x∈R；
∴g′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴g（x）在R上是单调减函数；
又∵g（1）=f（1）-（

1

2

+

1

2

）=0，
∴当x＞1时，g（x）＜0恒成立，
即f（x）＜

1

2

x+

1

2

的解集是（1，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查了求不等式的解集的问题，解题时根据题意，利用构造函数的方法，由导数判定函数的单调性并求出不等式的解集，是中档题．