Question

14．已知a∈R，函数$f（x）={2^{\frac{1}{x}+a}}$．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＞4；
（2）若f（x）＞2^-x在x∈[2，3]恒成立，求a的取值范围；
（3）若关于x的方程f（x）-2^{（a-4）x+2a-5}=0在区间（-2，0）内的解恰有一个，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入f（x），解不等式即可；
（2）问题转化为 $\frac{1}{x}+x＞-a$在[2，3]恒成立，令$g（x）=x+\frac{1}{x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（3）问题转化为（x-1）[（a-4）x-1]=0，通过讨论a的范围，结合方程解的个数，确定a的范围即可．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）={2^{\frac{1}{x}+1}}$，
由f（x）＞4得${2^{\frac{1}{x}+1}}＞4={2^2}$，…..（1分）
所以 $\frac{1}{x}+1＞2⇒\frac{1}{x}＞1⇒0＜x＜1$，
即不等式的解集是（0，1）．…（3分）
（2）因为f（x）＞2^-x在[2，3]恒成立，
即${2^{\frac{1}{x}+a}}＞{2^{-x}}$在[2，3]恒成立，
即$\frac{1}{x}+a＞-x$在[2，3]恒成立，
即 $\frac{1}{x}+x＞-a$在[2，3]恒成立…..（5分）
令$g（x）=x+\frac{1}{x}$，由${g^'}（x）=1-\frac{1}{x^2}＞0$在[2，3]恒成立，
所以g（x）在区间[2，3]单调递增，…（7分）
所以g（x）的最小值为$g（2）=\frac{5}{2}$，
所以$-a＜\frac{5}{2}$，即$a＞-\frac{5}{2}$…..…．…（9分）
（3）由题意得${2^{\frac{1}{x}+a}}-{2^{（a-4）x+2a-5}}=0$
所以$\frac{1}{x}+a=（a-4）x+2a-5$，
即（a-4）x²+（2a-5）x-1=0，
即（x-1）[（a-4）x-1]=0…．（11分）
①当a=4时，x=-1∈（-2，0），满足题意；…．（12分）
②当a≠4时，
i．$x=\frac{1}{a-4}=-1$，即a=3，满足题意；…（13分）
ii．$x=\frac{1}{a-4}≤-2$或$x=\frac{1}{a-4}≥0$解$\frac{7}{2}≤a＜4$或a＞4..（15分）
从而   $a∈\{3\}∪[\frac{7}{2}，+∞）$…（16分）

点评 本题考查了解不等式问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．