Question

16．已知定义域为R的函数f（x），若函数y=$\frac{f′（x）}{x}$的图象如图所示，给出下列命题：
①f′（1）=f′（-1）=0；
②函数f（x）在区间（-∞，-1）上单调递增；
③当x=1时，函数f（x）取得极小值；
④方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根．
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用导函数的符号以及导函数值，判断函数的单调性与极值点，判断零点个数推出结果即可．

解答 解：由题意可知：①f′（1）=f′（-1）=0；正确；
②函数f（x）在区间（-∞，-1）上f′（x）＞0，所以函数是单调递增；正确；
③x∈（0，1）时f′（x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞）上f′（x）＞0，函数是增函数，
当x=1时，函数f（x）取得极小值；正确；
④方程f（x）=0可能没有实数根．如图：
所以方程xf′（x）=0与f（x）=0均有三个实数根．不正确；
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，函数的导数的应用，函数的单调性以及图象的应用，是中档题．