Question

5．以直角坐标系的原O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两个坐标系相等的单位长度，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ）写出直线l的一般方程及圆C标准方程；
（Ⅱ）设P（-1，1），直线l和圆C相交于A，B两点，求||PA|-|PB||的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的一般方程；由ρ=2可得ρ²=4，由此能求出圆C的标准方程．
（Ⅱ）点P（-1，1）P在圆内，且直线l上，联立圆的方程和直线l的参数方程方程组，得5t²+8t+1=0，利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出||PA|-|PB||的值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$为参数），
∴由直线l的参数方程消去参数t可得x-1=2（y-2），
化简并整理可得直线l的一般方程为x-2y+3=0，
∵圆C的极坐标方程为ρ=2，
∴由ρ=2可得ρ²=4，即x²+y²=4，
∴圆C的标准方程为x²+y²=4．
（Ⅱ）∵P（-1，1），|PC|=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$＜R=2，
点P（-1，1）代入直线l的方程，成立，
∴点P在圆内，且直线l上，
联立圆的方程和直线l的参数方程方程组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=4\\ x=1+2t，得5{t^2}+8t+1=0\\ y=2+t\end{array}\right.$，
设A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），则${t_A}+{t_B}=-\frac{8}{5}，{t_A}{t_B}=\frac{1}{5}＞0$，
∴$（{1+{t_A}}）（1+{t_B}）={t_A}{t_B}+{t_A}+{t_B}+1=\frac{1}{5}-\frac{8}{5}+1=-\frac{2}{5}＜0$，
则$|{PA}|=\sqrt{{{（{{x_A}+1}）}^2}+{{（{{y_A}-1}）}^2}}=\sqrt{{{（{2{t_A}+2}）}^2}+{{（{{t_A}+1}）}^2}}=\sqrt{5}|{{t_A}+1}|$，
同理$|{PB}|=\sqrt{5}|{{t_B}+1}|$，
∴$|{|{PA}|-|{PB}|}|=\sqrt{5}|{{t_A}+1}|-|{{t_B}+1}|=\sqrt{5}|{{t_A}+{t_B}+2}|=\sqrt{5}|{-\frac{8}{5}+2}|=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查直线的一般方程、圆的标准方程的求法，考查两线段之差的绝对值的求法，考查参数方程、直角坐标方程的互化、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．