Question

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜

1

2

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩∁_RB（R为全集）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x=-1，y=1，由条件，结合f（1）=0，即可得到f（0）；
（2）令y=0，结合f（0），即可求出f（x）的解析式；
（3）化简不等式f（x）+3＜2x+a，得到x²-x+1＜a，求出左边的范围，由恒成立得到a的范围；由二次函数的单调性，即可得到集合B，从而求出A∩∁_RB．

解答： 解：（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1×（-1+2+1）
∵f（1）=0，∴f（0）=-2；                                       
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2，∴f（x）=x²+x-2；                                  
（3）不等式f（x）+3＜2x+a， 即x²+x-2+3＜2x+a  即x²-x+1＜a，     
当0＜x＜

1

2

时，

3

4

＜x2-x+1＜1，
又(x-

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立，故A={a|a≥1}，                                  
g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2 
又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有

a-1

2

≤-2，或

a-1

2

≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，                           
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查不等式的恒成立问题转化为求最值的问题，以及函数的单调性及运用，属于中档题．