Question

一个无穷等比数列的各项和为3，它的各项平方后所组成的无穷等比数列的各项和为

9

2

，则它的各项立方后所组成的无穷等比数列的各项和为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：由无穷等比数列的各项和、它的各项平方后所组成的无穷等比数列的各项和，根据极限和等比数列的前n项和公式，列出关于a₁、q方程求解，再求出它的各项立方后所组成的无穷等比数列的各项和．

解答： 解：设无穷等比数列为{a_n}，公比为q，由题意得|q|＜1且q≠0，
则由题意得：

a1 1-q =3 a12 1-q2 = 9 2

，解得a₁=2，q=

1

3

，
∴它的各项立方后所组成的无穷等比数列的各项和为：

a13

1-q3

=

8

1- 1 27

=

108

13

，
故答案为：

108

13

．

点评：本题主要考查了等比数列的前n项和，其中无穷等比数列的各项和是指当|q|＜1且q≠0时前n项和的极限，解题的关键是由无穷等比数列的各项和可得前n项和的极限存在，则可得|q|＜1且q≠0，这也是考生常会漏掉的知识点．