Question

已知函数f(x)＝x³＋(1－a)x²－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值．

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

Answer 1

解　f′(x)＝3x²＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意得

解得b＝0，a＝－3或1.

(2)∵曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

∴关于x的方程f′(x)＝3x²＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝4(1－a)²＋12a(a＋2)>0，

即4a²＋4a＋1>0.∴a≠－.

∴a的取值范围是