Question

袋中有1个白球和4个黑球，且球的大小、形状都相同．每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，继续取球，但取球总次数不超过k次（k≥5）．
（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，求取球次数ξ的数学期望与方差；
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数η的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，由题意知知P(ξ=n)=

1

5

，n=1，2，3，4，5．由此能求出取球次数ξ的数学期望与方差．
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，η的可能取值是1，2，…，k，由此能求出取球次数η的分布列与数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）当每次取出的黑球不再放回时，
ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
由题意知知P(ξ=n)=

1

5

，n=1，2，3，4，5．
∴Eξ=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

1

5

+4×

1

5

+5×

1

5

=3，Dξ=(1-3)2×

1

5

+(2-3) 2×

1

5

+(3-3)2×

1

5

+(4-3)2×

1

5

+(5-3)2×

1

5

=2．
（Ⅱ）当每次取出的黑球仍放回去时，直到取球k次结束，
η的可能取值是1，2，…，k，
所求概率分布列为

η	1	2	3	…	k-1	k
P	1 5	4 5 • 1 5	( 4 5 )2• 1 5	…	( 4 5 )k-2• 1 5	( 4 5 )k-1

Eη=

1

5

[1+2(

4

5

)+3(

4

5

)2+…+(k-1)•(

4

5

)k-2]+k(

4

5

)k-1 
∴

4

5

Eη=

1

5

[1(

4

5

)+2(

4

5

)2+…+(k-2)(

4

5

)k-2+(k-1)(

4

5

)k-1]+k(

4

5

)k，
上述两式相减，整理得Eη=1+(

4

5

)+(

4

5

)2+…+(

4

5

)k-2+(

4

5

)k-1=5[1-(

4

5

)k]．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型．