Question

8．已知数列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=a_n+2n+1，设数列{b_n}满足b_n=a_n-1，对任意正整数n不等式$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜m$均成立，则实数m的取值范围为[$\frac{3}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可知：a_n+1-a_n=2n+1，采用累加法即可求得数列a_n=n²，则b_n=a_n-1=n²-1=（n+1）（n-1），当n≥2时，则$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），采用“裂项法”即可求得实数m的取值范围．

解答 解：由a_n+1=a_n+2n+1，则a_n+1-a_n=2n+1，
则a₂-a₁=3，
a₃-a₂=5，
a₄-a₃=7，
…
a_n-a_n-1=2n-1，
以上各式相加：a_n-a₁=3+5+7+…+2n-1=$\frac{（3+2n-1）（n-1）}{2}$=n²-1，
a_n=n²-1+a₁=n²，
当n=1时成立，
∴a_n=n²，
b_n=a_n-1=n²-1=（n+1）（n-1），
当n≥2时，则$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
$\frac{1}{{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{3}{4}$，
由$\frac{1}{b_2}+\frac{1}{b_2}+…+\frac{1}{b_n}＜m$，则$m≥\frac{3}{4}$，
实数m的取值范围[$\frac{3}{4}$，+∞），
故答案为：[$\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 本题考查“累加法”求数列的通项公式，“错位相减法”求数列的前n项和，考查数列与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．