Question

下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是（　　）

• A、y=x+

  1

  x

• B、y=xsinx
• C、y=x（|x|-1）
• D、y=cos（x-

  π

  2

  ）

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：选项A，为奇函数，但无最小值；选项B，y=xsinx为偶函数；选项C，y=x（|x|-1）为奇函数，但无最小值；选项D，满足题意．

解答： 解：选项A，y=x+

1

x

为奇函数，但y∈（-∞，-2]∪[2，+∞），y无最小值，故错误；
选项B，y=xsinx为偶函数，故错误；
选项C，y=x（|x|-1）为奇函数，且可化为y=

x2-x，x≥0 -x2-x，x＜0

，
由二次函数的知识可知该函数无最小值，故错误；
选项D，由诱导公式可得y=cos（x-

π

2

）=sinx，
显然为奇函数，且有最小值-1，满足题意，故正确．
故选：D

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，属基础题．