Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x（x＜0）}\\{\frac{ln（x+1）}{x+1}，（x≥0）}\end{array}\right.$，参数k∈[-1，1]，则方程f（x）-kx-k=0有四个实数根的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{2e}$
• D． $\frac{1}{4e}$

Answer 1

分析 首先画出函数图象，要使方程f（x）-kx-k=0有四个实数根，只要函数f（x）与直线y=k（x+1）由四个交点即可，利用数形结合求k的范围，然后利用几何概型公式求概率．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x（x＜0）}\\{\frac{ln（x+1）}{x+1}，（x≥0）}\end{array}\right.$的图形如图，要使方程f（x）-kx-k=0有四个实数根，即使直线y=k（x+1）与函数f（x）图象有四个交点，
当直线y=k（x+1）与f（x）相切时，设切线斜率为k，切点为（x，y），则k=$（\frac{ln（x+1）}{x+1}）′$=$\frac{1-ln（x+1）}{（x+1）^{2}}$，所以$\frac{ln（x+1）}{x+1}=\frac{1-ln（x+1）}{（x+1）^{2}}（x+1）$，
解得x=$\sqrt{e}-1$，所以k=$\frac{1}{2e}$，
所以方程f（x）-kx-k=0有四个实数根的k的范围是（0，$\frac{1}{2e}$），又k∈[-1，1]，由几何概型的公式可得方程f（x）-kx-k=0有四个实数根的概率为：$\frac{\frac{1}{2e}}{2}=\frac{1}{4e}$；
故选D．

点评 本题考查了函数图象，方程根的个数；本题借助于数形结合，直线与切线的交点个数解决了方程根的问题；属于中档题．