Question

已知函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

，下列命题：其中所有正确的命题的序号是（　　）
①函数f（x）的零点为1；
②函数f（x）的图象关于原点对称；
③函数f（x）在其定义域内是减函数；
④函数f（x）的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

• A、①②
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①令f（x）=0，由指数函数的值域即可判断；②先求定义域，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可判断；
③讨论x＞0，x＜0，运用指数函数的单调性，即可判断；④讨论x＞0，x＜0函数的取值范围，再求并集，即可判断．

解答： 解：函数f（x）=

ex+e-x

ex-e-x

即f（x）=

e2x+1

e2x-1

=1+

2

e2x-1

，
①令f（x）=0，则由于e^x，e^-x＞0，故无零点．故①错；
②e^2x≠1，即x≠0，f（-x）=

e-x+ex

e-x-ex

=-f（x），故②正确；
③当x＞0时，f（x）递减，当x＜0时，f（x）递减，故③错；
④当x＞0时，e^2x＞1，f（x）＞1；当x＜0时，0＜e^2x＜1，f（x）＜-1，故④正确．
故选C．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性和值域，以及零点问题，注意定义的运用，指数函数的值域的运用，属于中档题．