Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=

3

2

an-n(n∈N*)．
（Ⅰ）求证{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明：

a1

a2

+

a2

a4

+

a3

a4

+…

an

an+1

＞

n

3

-

1

8

．

Answer 1

考点：等比数列的性质,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意可求得a₁=2，当n≥2且n∈N^*时，有a_n=S_n-S_n-1，从而得a_n-3a_n-1=2，{a_n+1}是以a₁+1=3为首项，3为公比的等比数列，从而可求得a_n+1=3ⁿ，继而可得答案；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论a_n=3ⁿ-1，可得

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

=

1

3

-

2

9•3n-3

=

1

3

-

2

8•3n+3n-3

≥

1

3

-

2

8•3n

，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵对任意n∈N^*，都有S_n=

3

2

an-n(n∈N*)，且S₁=a₁，
∴a₁=S₁=

3

2

a₁-1，得a₁=2…
当n≥2且n∈N^*时，有a_n=S_n-S_n-1=（

3

2

a_n-n）-[

3

2

a_n-1-（n-1）]=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1-1，
即a_n-3a_n-1=2，
∴a_n+1=3（a_n-1+1），由此表明{a_n+1}是以a₁+1=3为首项，3为公比的等比数列．
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1
故数列{a_n}的通项公式为a_n=3ⁿ-1；
（Ⅱ）

an

an+1

=

3n-1

3n+1-1

=

1

3

-

2

9•3n-3

=

1

3

-

2

8•3n+3n-3

≥

1

3

-

2

8•3n

，
∴

a1

a2

+

a2

a4

+

a3

a4

+…+

an

an+1

≥

n

3

-

1

4

（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

）=

n

3

-

1

8

（1-

1

3n

）＞

n

3

-

1

8

．

点评：本题考查数列求和，考查等比关系的确定，考查综合分析与运算能力，属于中档题．